LEY DE SENOS Y COSENOS

             LEY DE SENOS Y COSENOS

Son dos formulas o teoremas que se usan para solucionar un triángulo cada teorema tiene sus reglas para que se pueda usar en el problema y estos teoremas para que funcionen tienen que usar ángulos para poder hallar los mismos o los lados, eso quiere decir que estos teoremas puede hallar los ángulos y lados de un triángulo.

Teorema del seno:
a/Sen A=b/Sen B=c/Sen C
La anterior formula se utiliza para hallar los lados del triángulo, donde el dividendo es el lado por que esta en minúscula y el divisor es el ángulo por que esta en mayúscula. Para que este teorema funcione el triángulo debe tener 2 lados y un ángulo adyacente, o 2 ángulos y un lado adyacente.
EJEMPLO:Un avión que sobre vuela una carretera plana, divisa a dos autos con un ángulo de 100° el auto A tiene un ángulo de 32° y el auto B un ángulo de 48°, estos dos autos estan separados por una distancia de 5 millas (8046,7 metros). ¿Hallar a que distancia se encuentra el avión del auto B?
 C=100° A=32° B=48° c=8046,7

1.-c/Sen C=b/Sen B (usamos esta formula para hallar el lado b)
2.-c x Sen B/Sen C=b (operamos fraccionarios de tal manera que la hipotenusa multiplica con el seno de B, y divide con el seno de C de esta operación resultamos hallando el lado b)
3.-8046,7 x Sen (48°)/Sen (100°)=b (sustituimos)
4.-8046,7 x 0,74/0,98=b (operamos los senos de los ángulos)
5.- 5954,55/0,98=b (operamos el dividendo)
6.-6076,07=b (dividimos)
R=b=6076,07

Sen A/a=Sen B/b=Sen C/c
La anterior formula se utiliza para hallar los ángulos de un triángulo.
EJEMPLO: Imaginar un triángulo donde A=32° a=22 b=16 y c=33,62
¿Hallar el ángulo B?

1.-Sen A/a=Sen B/b (usamos esta formula para hallar el ángulo B)
2.-Sen A x b/a=Sen B (operamos fraccionarios de tal manera que multiplicamos el Sen de A por el lado b, y dividimos por el lado a)
3.-Sen (32°)  x 16/22=Sen B (sustituimos)
4.-0,53 x 16/22=Sen B (operamos el seno del ángulo, aproximamos el resultado)
5.-8,48/22=Sen B (multiplicamos el dividendo)
6.-0,38=Sen B (dividimos)
7.-Sen-1 0,38=B (sustituimos de tal manera que sacamos el valor de seno -1 a 0,38)
8.-22,33°=B
R=El ángulo B=22,33°

Teorema del coseno:
-a^2=b^2+c^2-2bc Cos A
-b^2=a^2+c^2-2ac Cos B
-c^2=a^2+b^2-2ab Cos C
Las anteriores tres formulas son propias del coseno y esas mismas tres se utilizan para sacar tanto ángulos como lados de un triángulo. Para que se use este teorema el triángulo debe tener un dos lados y un ángulo opuesto, o 2 ángulos opuestos y un lado.
EJEMPLO: Dos jugadores de fútbol un defensa y un delantero corren hacia un balón, el delantero C se encuentra a 12 metros del balón y lleva un ángulo de 20°, el defensa A esta separado del delantero C por una distancia de 20 metros. ¿Hallar a que distancia se encuentra el defensa A del balón?
a=12m
b=20m
C=20°

1.-c^2=a^2+b^2-2ab Cos C (utilizamos esta formula para hallar la hipotenusa)
2.-c^2=(12)^2+(20)^2-2(12)(20) Cos (20) (sustituimos)
3.-c^2=144+400-480 (0,94) (operamos los cuadrados y la multiplicación, también el coseno de 20, el resultado del coseno lo aproximamos)
4.- c^2=544-451,2 (operamos la suma y la multiplicación)
5.-c^2=92,8 (operamos la resta)
6.-c=√92,8 (trasladamos el cuadrado de c al resultado de la resta)
7.-c=9,63 (sacamos la raíz cuadrada)
R=el defensa esta a una distancia de 9,63 metros

-a^2+b^2+c^2/2bc=Cos A
-b^2+a^2+c^2/2ac=Cos B
-c^2+a^2+b^2/2ab=Cos C
Las 3 formulas mostradas se utilizan para sacar los ángulos de un triángulo.
Ejemplo:Imagina un triángulo donde a=12 b=10 c=11,13. ¿Hallar el ángulo A?

-a=12
-b=10
-c=11,13

1.--a^2+b^2+c^2/2bc=Cos A (usamos esta formula para hallar el ángulo A)
2.--(12)^2+(10)^2+(11,13)^2/2(10)(11,13)=Cos A (sustituimos)
3.--144+100+123,88/222,6=Cos A (operamos los cuadrados y el divisor)
4.-79,88/22,6=Cos A (operamos la suma del dividendo)
5.-0,36=Cos A (operamos la divicion)
6.-Cos-1 0,36=A (sacamos el coseno de -1 a 0,36)
7.-68,99°=A (aproximamos el resulta de coseno-1)
R=el ángulo A=68,99°